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【转】求有向图的强连通分量(scc):Tarjan算法

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1,在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected component)。
2,下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。


3,Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义几个关键数组:
int DFN[MAX]; //记录节点u第一次被访问时的步数
int LOW[MAX]; //记录与节点u和u的子树节点中最早的步数
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。


返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。


返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。


继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。


至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

分析:
运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

4,实例代码:

Cpp代码 复制代码
  1. #include<iostream>   
  2. #include<vector>   
  3. using namespace std;   
  4.   
  5. const int MAX=10001;   
  6.   
  7. int Stop;//栈中的元素个数   
  8. int cnt;//记录连通分量的个数   
  9. int visitNum;//记录遍历的步数   
  10. int DFN[MAX]; //记录节点u第一次被访问时的步数   
  11. int LOW[MAX]; //记录与节点u和u的子树节点中最早的步数   
  12. bool instack[MAX];//记录节点u是否在栈中   
  13. int Stap[MAX];//栈   
  14. int Belong[MAX];//记录每个节点属于的强连通分量编号   
  15.   
  16. int N;//节点个数   
  17.   
  18. vector<int> tree[MAX];   
  19.   
  20. void tarjan(int i)   
  21. {   
  22.     int j;   
  23.     DFN[i]=LOW[i]=++visitNum;   
  24.     instack[i]=true;   
  25.     Stap[++Stop]=i;//将当前节点压入栈中   
  26.     for (unsigned k=0;k<tree[i].size();k++)   
  27.     {   
  28.         j=tree[i][k];   
  29.         if (!DFN[j]) //j还没有被访问过   
  30.         {   
  31.             tarjan(j);   
  32.             //父节点是子节点的子节点   
  33.             if (LOW[j]<LOW[i])   
  34.                 LOW[i]=LOW[j];   
  35.         }   
  36.         //与j相连,但是j已经被访问过,且还在栈中   
  37.         //用子树节点更新节点第一次出现的时间   
  38.         else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])   
  39.             LOW[i]=DFN[j];   
  40.     }   
  41.     //节点i是强连通分量的根   
  42.     if (DFN[i]==LOW[i])   
  43.     {   
  44.         cnt++;   
  45.         //输出找到的强连通分量   
  46.         cout<<"连通分量"<<cnt<<": ";   
  47.         //退栈,直至找到根为止   
  48.         do  
  49.         {   
  50.             j=Stap[Stop--];   
  51.             instack[j]=false;   
  52.             cout<<j<<" ";   
  53.             Belong[j]=cnt;   
  54.         }   
  55.         while (j!=i);   
  56.         cout<<endl;   
  57.     }   
  58. }   
  59. void solve()   
  60. {   
  61.     Stop=cnt=visitNum=0;   
  62.     memset(DFN,0,sizeof(DFN));   
  63.     for (int i=1;i<=N;i++)   
  64.         if (!DFN[i])//有可能图不是连通图   
  65.             tarjan(i);   
  66. }   
  67.   
  68. int main()   
  69. {   
  70.     N=6;   
  71.     tree[1].push_back(3);   
  72.     tree[1].push_back(2);   
  73.     tree[2].push_back(4);   
  74.     tree[3].push_back(5);   
  75.     tree[3].push_back(4);   
  76.     tree[4].push_back(1);   
  77.     tree[4].push_back(6);   
  78.     tree[5].push_back(6);   
  79.     solve();   
  80.     for(int i=1;i<=N;i++)   
  81.         cout<<Belong[i]<<" ";   
  82.     cout<<endl;   
  83.     return 0;   
  84. }  
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